Теорема о свойстве рационального числа.

Не существует рационального числа, квадрат которого равен 2. Доказательство - от противного. Пусть существует рациональное число X, такое что X^2=2. Рациональное число X равно некоторой несократимой дроби X=a/b. Раз X^2=2, значит a^2/b^2=2. Перенесём b^2 в правую часть в числитель. Получилось, что а^2 чётное, а значит, само число a - тоже чётное. Запишем: a=2m. Возведём в квадрат, и выходит, что a^2=4m^2. Поставим 4m^2 вместо a^2 в полученное прежде равенство: получилось 4m^2=2b^2. Сократим на 2 и получим 2m^2=b^2 теперь выходит, что b^2 чётное, то есть и само b - тоже чётное. Запишем b=2n. Получилось, что нашу предположительно несократимую дробь a/b=2m/2n - можно сократить на 2. Раз получилось, что несократимая дробь сократима, значит, предположение о существовании дроби оказалось неверно. И число X не представляется в виде дроби, то есть не является рациональным. ЧТД.

Уроки курса