Теорема о несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной.

Диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, то есть их отношение выражается иррациональным числом. Вот наш квадрат, вот его сторона (помечена кружком), вот диагональ. Если бы отношение диагонали к стороне было рациональным числом, и диагональ к стороне относилась бы как сколько-то единиц к скольки-то единицам, то найти эту единицу можно было бы с помощью алгоритма Евклида. Вот мы и поищем единицу. Разделим большее (диагональ) на меньшее (сторону). Получается 1 целый кусочек, и остаток - пометим двойным штрихом. Из начала остатка восставим перпендикуляр к диагонали. Получились ТРИ равнобедренных треугольника. 1) треугольник с равными сторонами-кружками (У его основания - равные углы, помеченные кружками). 2) прямоугольный равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине и половинами прямого угла при основании. 3) треугольник с равными углами (с двойной дужкой) при основании. Углы с двойной дужкой равны, потому что оба они - это разность между прямым углом и углом с кружком. Из равнобедренности треугольников следует равенство ЭТИХ отрезков и ЭТИХ отрезков. Теперь будем меньшее (сторону) делить на остаток (с двойным штрихом). У нас получится 2 целых кусочка и остаток. Но маленький равнобедренный прямоугольный треугольник подобен исходному равнобедренному прямоугольному треугольнику. Следовательно второй шаг алгоритма - это уменьшенное подобие первого шага. А значит и третий шаг будет уменьшенным подобием второго и отрезки всегда будут делиться с остатком. Такой процесс можно продолжать до бесконечности, а для успешного нахождения единицы у алгоритма должно быть конечное число шагов. Значит единицы не существует, и отношение диагонали квадрата к его стороне не является рациональным числом.

Уроки курса